Question

已知实数x，y满足

x-y≥0 x≤1 y≥0

且目标函数z=2ax+by （a＞0，b＞0）的最大值是1，则ab的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的截距和z的关系，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：由z=2ax+by （a＞0，b＞0）得y=-

2a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

2a

b

x+

z

b

的斜率k=-

2a

b

＜0，截距最大时，z也最大．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知当直线y=-

2a

b

x+

z

b

经过点A时，取得最大值1，
即2ax+by=1，
由

x=1 y=x

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
∴2a+b=1，
则1=2a+b≥2

2ab

，
即ab≤

1

8

，
当且仅当2a=b=

1

2

时取等号，
故ab的最大值为

1

8

．
故答案为：

1

8

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合确定最优解，利用基本不等式是解决本题的关键．