Question

10．在锐角三角形△ABC中，若sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$
（1）求$\frac{tanA}{tanB}$的值
（2）求tanC，tanA，tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，求得sinAcosB和cosAsinB的值，可得$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$ 的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（A+B）和cos（A-B）的值，可得tanC=-tan（A+B）的值．再根据tanA=2tanB，tanC=-tan（A+B），求得tanB的值，可得tanA的值．

解答 解：（1）锐角三角形△ABC中，若sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，
即 sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$，sinAcosB-cosAsinB=$\frac{1}{5}$，
sinAcosB=$\frac{2}{5}$，cosAsinB=$\frac{1}{5}$，∴$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=2．
（2）由题意可得A+B为钝角，cos（A+B）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（A+B）}$=-$\frac{4}{5}$，cos（A-B）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（A-B）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{sin（A+B）}{cos（A+B）}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$．
又 tanA=2tanB，tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{3tanB}{{2tan}^{2}B-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴tanB=2+$\sqrt{6}$，或tanB=2-$\sqrt{6}$（舍去），∴tanA=4+2$\sqrt{6}$．
综上可得，tanA=4+2$\sqrt{6}$、tanB=2+$\sqrt{6}$、tanC=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于中档题．