Question

8．已知a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，则使得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$取得最小值的有序实数对（a，b）是 　（　　）

• A． （10，5）
• B． （7，2）
• C． （6，6）
• D． （5，10）

Answer 1

分析 a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，可得：-（a+b）+30-3a=0，化为：4a+b=30．则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a+b（a＞0，b＞0）是函数f（x）=-x+30-3a的零点，∴-（a+b）+30-3a=0，化为：4a+b=30．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}（4a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{30}$$（5+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}）$≥$\frac{1}{30}（5+2\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{b}{a}}）$=$\frac{1}{30}（5+4）$=$\frac{3}{10}$，当且仅当b=2a=10时取等号．
取得最小值的有序实数对（a，b）是（5，10）．
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．