Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=a²-（b+c）²，acosB+bcosA=2csinC，b=2$\sqrt{3}$，则△ABC的面积为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 2$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=a²-（b+c）²，利用数量积运算性质可得：2cbcosA=a²-b²-c²-2bc，再利用余弦定理可得A．由acosB+bcosA=2csinC，利用正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCsinC，可得C，进而得到B，即可得出．

解答 解：∵2$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=a²-（b+c）²，
∴2cbcosA=a²-b²-c²-2bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-2bc-2bccosA}{2bc}$，化为：cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{2π}{3}$．
∵acosB+bcosA=2csinC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCsinC，
∴sin（A+B）=sinC=2sinCsinC，sinC≠0，可得sinC=$\frac{1}{2}$，
可得C为锐角，∴$C=\frac{π}{6}$，
∴B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，
∴c=b=2$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}）^{2}×sin\frac{2π}{3}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．