Question

3．已知函数f（x）=（x-1）e^x+1（x＞0）
求证：（1）f（x）＞0
（2）对?n∈N*，若${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，x₁=1，求证：${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数的单调性，即可证明当x＞0时，f（x）＞0；
（2）首先用数学归纳法证明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，即可得到${x}_{n+1}＞\frac{1}{{2}^{n+1}}$，再结合${e}^{{x}_{n}}-1＜{x}_{n}{e}^{{x}_{n}}$，即可证明x_n+1＜x_n．

解答 证明：（1）∵f（x）=（x-1）e^x+1，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
当x＞0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因此f（x）＞f（0）=0；
（2）首先用数学归纳法证明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
①当n=1时，x₁=1＞$\frac{1}{2}$，∴x₁＞$\frac{1}{{2}^{1}}$成立．
②假设n=k时，x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$．
那么当n=k+1时，${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，则${e}^{{x}_{k+1}}=\frac{{e}^{{x}_{k}}-1}{{x}_{k}}$，
当x＞0时，由不等式e^x-1＞x得$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1且g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在（0，+∞）单调递增，
∵x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴${e}^{{x}_{k+1}}=\frac{{e}^{{x}_{k}}-1}{{x}_{k}}$＞$\frac{{e}^{\frac{1}{{2}^{k}}}-1}{\frac{1}{{2}^{k}}}$＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
∴x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由①②可知，对任意的正整数n，总有x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，则${x}_{n+1}＞\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
由（1）知（1-x_n）${e}^{{x}_{n}}-1$＜0，∴${e}^{{x}_{n}}-1$＜x_n${e}^{{x}_{n}}$．
由${x_n}{e^{{x_{n+1}}}}={e^{x_n}}-1$，知x_n+1＜x_n．
∴${x_n}＞{x_{n+1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．