Question

17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3}{5}t\\ y=-1+\frac{4}{5}t\end{array}$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线l的直角坐标方程；
（2）消去参数得到圆C的普通方程，求出圆心C到直线l的距离，即可得出结论．

解答 解：（1）将曲线C的极坐标方程化为$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=cosθ+sinθ，得ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入上式，
得曲线C的直角坐标方程为x²+y²-x-y=0．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{3}{5}t\\ y=-1+\frac{4}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，得普通方程4x-3y+1=0，
由（1）知曲线C的直角坐标方程为x²+y²-x-y=0，即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，
∴圆C的圆心为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半径为$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴圆心C到直线l的距离$d=\frac{{|4×\frac{1}{2}-3×\frac{1}{2}+1|}}{5}=\frac{3}{10}$，
∴$|MN|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}-{{（\frac{3}{10}）}^2}}=\frac{{\sqrt{41}}}{5}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化方法、参数方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于中档题．