Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线l：x-y+1=0相切于点M．
（1）求抛物线C的方程；
（2）作直线l'与OM平行（O为原点）且与抛物线C交于A，B两点，又与直线l交于点P，是否存在常数λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；
（2）假设存在常数λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|²=2m²，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{5}{4}$m²，则2m²=$\frac{5}{4}$m²λ，即可求得常数λ．

解答 解：（1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：x²+2（1-p）x+1=0，
由抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线l：x-y+1=0相切，
∴△=0，即4（1-p）²-4=0，解得：p=2或p=0（舍去），
∴抛物线方程为：y²=4x；
（2）假设存在常数λ，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立，
由（1）可知：M（1，2），则k_OM=2，
设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则P（1-m，2-m），|PM|²=2m²，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：4x²+4（m-1）x+m²=0，
由△＞0，即16（m-1）²-16m²＞0，解得：m＜$\frac{1}{2}$且m≠0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=1-m，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由丨PA丨丨PB丨=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=5[x₁•x₂+（m-1）（x₁+x₂）+（m-1）²]=$\frac{5}{4}$m²，
整理得：2m²=$\frac{5}{4}$m²λ，解得：λ=$\frac{8}{5}$，
∴存在常数λ=$\frac{8}{5}$，使得|PM|²=λ|PA||PB|成立．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．