Question

9．已知函数f（x）=-3sin²x-4cosx+2，则该函数的最大值和最小值的差为（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． $\frac{25}{3}$
• D． -$\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系，把函数转换成关于cosx的函数，利用换元法，根据cosx的范围求得函数的最小值和最大值．

解答 解：y=-3sin²x-4cosx+2=3cos²x-3-4cosx+3=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
∵-1≤cosx≤1，令cosx=t，则-1≤t≤1，
f（t）=3（t-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，在[-1，$\frac{2}{3}$]单调递减，在[$\frac{2}{3}$，1]上单调递增，
∴f（t）_min=f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$，f（t）_max=f（-1）=7，
∴f（t）_max-（t）_min=7-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{25}{3}$
故选：C

点评 本题主要考查了三角函数的性质，二次函数的性质．解题过程采用了换元法，把三角函数问题转换为二次函数的问题．