Question

18．定圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，动圆N过点F（$\sqrt{3}$，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）设直线x=ny+1与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹为椭圆，2a=4，c=$\sqrt{3}$，进而得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出P，Q的坐标，则P₁的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出P1Q的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1代入求得x=4，进而可推断出直线P₁Q与x轴交于定点（4，0）．

解答 解：（1）因为点F（$\sqrt{3}$，0）在圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16内，
所以圆N内切于圆M，
因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹为椭圆，
且2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以b=1，所以轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由直线x=ny+1与E，得（ny+1）²+4y²=4，即（n²+4）y²+2ny-3=0，n≠0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则P₁（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{2n}{4+{n}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{n}^{2}}$，
经过点P₁（x₁，-y₁），Q（x₂，y₂）的直线方程为$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，则x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1．
当y=0时，x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2n{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=3+1=4．
这说明，直线P₁Q与x轴交于定点（4，0）．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，注意运用方程的思想，考查直线与椭圆的位置关系，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线恒过定点，考查了学生基础知识的综合运用，属于中档题．