Question

【题目】已知函数

（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；

（2）当0＜a＜1时，求零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）两个

【解析】

(1) 函数在x=1时取得极值，得，解得，时，，求单调区间，验证在x=1时取得极值 （2），由，得减区间为，增区间为，其极小值为，，函数在上有且仅有一个零点，根据，，

令，得，又因为，所以，所以当时，，根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.

解：(1)定义域为，，

由已知，得，解得，

当时，，

所以，

所以减区间为，增区间为，

所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以

(2)令，由，得

所以，，

所以减区间为，增区间为，

所以函数在时取得极小值，其极小值为，

因为，所以，，

所以，所以，

因为，

根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，

因为，，

令，得，又因为，所以，

所以当时，，

根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点，

所以，当时，有两个零点.