Question

函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．
①已知f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a））则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
②已知定义在R上的偶函数y=f（x）的“中心点”为（1，1），则方程f（x）=1为[0，10]上至少有5个根．
③已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0对?m，n∈R恒成立，则当m＞3时，13＜m²+n²＜49．
④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{a_n}是公差为

π

8

的等差数列．若

7

n=1

f（a_n）=7π，则

[f(a4)]2

a1a7

=

64

5

，
其中你认为是正确的所有命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数“中心点”的定义，利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
②根据函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，1），求出方程f（x）=1的根，即可得到结论．
③已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，则得到函数f（x）是奇函数，利用函数的奇偶性即可得到结论．
④根据等差数列的通项公式，求出a₁，a₄，a₇的值，代入进行求解即可．

解答： 解：①若F（x）=f（x+a）-f（a），则F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b），
∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数，∴①正确．
②若函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，1），则f（x）+f（2-x）=2，
当x=1时，2f（1）=2，∴f（1）=1，
当x=-1时，f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=2，即f（3）=1，
当x=-3时，f（-3）+f（5）=f（3）+f（5）=2，即f（5）=1，
当x=-5时，f（-5）+f（7）=f（5）+f（7）=2，即f（7）=1，
当x=-7时，f（-7）+f（9）=f（7）+f（9）=2，即f（9）=1，
∴方程f（x）=1为[0，10]上至少有5个根，∴②正确．
③点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，点（0，0）为函数y=f（x）的“中心点”，
即函数f（x）是奇函数，
则不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0等价为不等式f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=（-n²+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-6m+21＜-n²+8n，
即（m-3）²+（n-4）²＜4，表示圆心为（3，4），半径为2的圆及其内部，
当m＞3时，为右半圆，
设z=m²+n²，则z的几何意义表示为动点P到原点距离的平方，
由图象可知当P位于点A（3，6）时，z取得最大值为z=9+36=45，
当P位于点B（3，2）时，z取得最小值为z=9+4=13，
∴13＜m²+n²＜45．即13＜m²+n²＜49成立，∴③正确．
④f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇），
∵{a_n}是公差d=

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₇=cos（a₄-3d）+cos（a₄-2d）+（cos（a₄-d）+cosd+cos（a₄+d）+cos（a₄+2d）+cos（a₄+3d）=2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd），
∴由

7

n=1

f（a_n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，
得14a₄-2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd）=7π，
∴必有14a₄=7π，且cosa₄=0，
故a₄=

π

2

，
∵公差d=

π

8

，
∴a₁=

π

8

，a₇=

7π

8

，
则

[f(a4)]2

a1a7

=

(2× π 2 -cos π 2 )2

π 8 × 7π 8

=

π2

7π2 64

=

64

7

≠

64

5

，
∴④错误．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度非常大．