Question

【题目】已知函数 。

（1）若曲线与在点处的切线互相垂直，求 值；

（2）讨论函数的零点个数。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意，求得，由，即可求得的值；

（2）由题意，令，分、和三种情形分讨论，得到函数的单调性和极值，即可判断函数的零点的个数

试题解析：

（1），

由题意，解得.

（2），令，

①当时，在定义域上恒大于没有零点；

②当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数，

因为，所以有1个零点；

③当时，

因为当时，在上为减函数，

当时，在上为增函数，

所以时，没有零点；

当时，有1个零点，

当时，，

因为且，所以方程在区间上有一解，

因为当时，，所以，

所以，

因为，所以，

所以在上有一解，所以方程在区间上有两解，

综上所述，当时，函数没有零点，

当或时，函数有1个零点，

当时，函数有2个零点.