【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,,E为PB中点.
(Ⅰ)求证:PD∥平面ACE;
(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积.
【答案】(I)见解析;(II)见解析;(III)
【解析】
(I)连结交
于
,连结
,利用中位线可证明
,即可说明
平面
;
(II)由平面平面
,底面
为矩形可得:
,根据勾股定理可得:
,由此证明
平面
;
(III)取的中点
,连结
,可证明
平面
,由于
为
中点,则过
点作平面
的高等于
,所以
,即可求出三棱锥
的体积
(I)连结交
于
,连结
.因为底面
是矩形,
所以为
中点.又因为
为
中点,所以
.因为
平面
,
平面
,所以
平面
.
(II) 因为底面为矩形,所以
.
又因为平面平面
,
平面
,平面
平面
,
所以平面
.因为
平面
,所以
.
因为,所以
,即
.
因为,
,
平面
,
所以平面
.
(III))取的中点
,连结
,因为
,
是
的中点,所以
,且
,
因为平面平面
,
平面
,平面
平面
, 所以
平面
,因为
为
中点,
所以.
所以三棱锥C的体积为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了解学生的体质健康状况,对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试.现从两个年级学生中各随机选取20人,将他们的测试数据,用茎叶图表示如图:《国家学生体质健康标准》的等级标准如表.规定:测试数据≥60,体质健康为合格.
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
测试数据 |
(Ⅰ)从该校高二年级学生中随机选取一名学生,试估计这名学生体质健康合格的概率;
(Ⅱ)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率;
(Ⅲ)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为,高二学生测试数据的平均数和方差分别为
,试估计
、
的大小.(只需写出结论)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量
(袋),得到如下统计表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根据所给5组数据,求出关于
的线性回归方程
.
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量
(袋)的关系为
,
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润销售收入
原材料费用).
参考公式: ,
.
参考数据: ,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆
的一个顶点,且椭圆N的离心率为
.
(1)求椭圆N的方程;
(2)已知是椭圆N的左焦点,过
作两条互相垂直的直线
,
交椭圆N于
两点,
交椭圆N于
两点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为调查高三年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(如图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(如图(2)).已知图(1)中身高在170~175cm的男生有16名.
(1)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少名?
身高≥170cm | 身高<170cm | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)根据频率分布直方图,完成下面的2×2列联表,并判断能有多大(百分数)的把握认为身高与性别有关?
附:参考公式和临界值表
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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