Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

），ω∈R，且ω≠0．
（Ⅰ）若f（x）的图象经过点（

π

6

，2），且0＜ω＜3，求ω的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当x∈[0，

π

2

]时，g（x）的值域为[-5，1]，求m，n的值；
（Ⅲ）若函数h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是减函数，求ω的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由f（x）的图象经过点（

π

6

，2），可得f（

π

6

）=2sin（

π

6

ω+

π

6

）=2，解得ω=12k+2（k∈Z），0＜ω＜3，从而可得ω的值；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性及函数值域，解关于m、n的方程组即可求得m，n的值；
（Ⅲ）函数h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是减函数⇒|ω|≤

3

2

，且

2kπ -ω + π 2ω ≤- π 3 2kπ -ω - π 2ω ≥ π 3

，解之即可得ω的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（

π

6

）=2sin（

π

6

ω+

π

6

）=2，
∴

π

6

ω+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴ω=12k+2（k∈Z），0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴g（x）=mf（x）+n=2msin（2x+

π

6

）+n，
∵x∈[0，

π

2

]时，（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
又g（x）的值域为[-5，1]，
∴当m＞0时，

2m+n=1 -m+n=-5

①或当m＜0时，

-2m+n=-5 -m+n=1

②
解①得：m=2；解②得：m=6（舍去），
∴m=2．
（Ⅲ）∵h（x）=f（x-

π

6ω

）=2sin[ω（x-

π

6ω

）+

π

6

]=2sinωx=-2sin（-ωx），
由2kπ-

π

2

≤-ωx≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得

2kπ

-ω

+

π

2ω

≤x≤

2kπ

-ω

-

π

2ω

（k∈Z），
∵函数h（x）=f（x-

π

6ω

）在[-

π

3

，

π

3

]上是减函数，
∴

1

2

T=

π

|ω|

≥

2π

3

，解得|ω|≤

3

2

，且

2kπ -ω + π 2ω ≤- π 3 2kπ -ω - π 2ω ≥ π 3

，解得：-

3

2

≤ω＜0．
∴ω的取值范围为[-

3

2

，0）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与周期性及最值，考查方程思想与等价转化思想及综合运算能力，属于难题．