Question

9．在体积为72的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AA₁=12．
（1）求角∠BAC的大小；
（2）若该三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，求球O的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三棱柱的体积公式，结合三角形的面积公式，求∠BAC的大小；
（2）画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，求出球的半径，然后可求球的体积．

解答 解：（1）∵体积为72的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AA₁=12，
∴$\frac{1}{2}×3×4×sin∠BAC×12=72$，
∴∠BAC=90°；
（2）如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，
O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，
由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，
因为AA₁=12，所以OP=6，
所以OB=$\sqrt{36+\frac{25}{4}}$=$\frac{13}{2}$
所以球的体积为：$\frac{4}{3}$π×OB³=$\frac{2197}{6}π$．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是基础题．