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如图,四棱锥中,底面是平行四边形,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)若以为坐标原点,射线分别是轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,已经计算得是平面的法向量,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

(1)参考解析;(2)

解析试题分析:(1)需证明平面,转化为证明AD⊥AC,AD⊥PA.因为PA垂直平面ABCD,由题意可得AD⊥AC,AD⊥PA显然成立,即可得结论.
(2)如图建立空间直角坐标系,因为是平面的法向量,所以求出平面PAF的法向量,再根据两平面的法向量的夹角的余弦值,即可得到平面与平面所成锐二面角的余弦值,
试题解析:. (1) 证明方法一:四边形是平行四边形,平面,又
平面.
方法二:证得是平面的一个法向量,平面.
(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为
又平面法向量为,所以 
所求二面角的余弦值为.
考点:1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在四棱柱中,底面ABCD和侧面都是矩形,E是CD的中点,
.
(1)求证:
(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知正四棱柱中,的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:
(3)在线段上是否存在点,当时,平面平面?若存在,求出的值并证明;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,三棱柱中,平面.以
为邻边作平行四边形,连接

(1)求证:∥平面 ;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?若存在,求出的长;若
不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

平行四边形中,,且,以BD为折线,把△ABD折起,,连接AC.

(1)求证:;
(2)求二面角B-AC-D的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在三棱柱中,,顶点在底面上的射影恰为点
(1)证明:平面平面
(2 )若点的中点,求出二面角的余弦值.

(1)证明:平面平面
(2)若点的中点,求出二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在直三棱柱中, , ,,点的中点.四面体的体积是,求异面直线所成的角.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在三棱柱中,侧面为菱形,且的中点.

(1)求证:平面平面
(2)求证:∥平面

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1,

(1)若M、N分别是AB,A1C的中点,求证:MN∥平面BCC1B1;
(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,∠B1BA=∠B1BC=60°,P为线段B1B上的动点,当PA+PC最小时,求证:B1B⊥平面APC.

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