Question

已知sinx+2siny=1，且siny+cos²x-m≥0对任意的x，y∈R恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件利用三角函数推导出m≤-4sin²y+5siny=-4（siny-

5

8

）²+

25

16

．由此能求出结果．

解答： 解：∵sinx+2siny=1，且siny+cos²x-m≥0对任意的x，y∈R恒成立，
∴sin²x=（1-2siny）²=4sin²y-4siny+1，
cos²x=-4sin²y+4siny，
siny+cos²x-m=5siny-4sin²y-m≥0，
∴m≤-4sin²y+5siny
=-4（sin²y-

5

4

siny）
=-4（siny-

5

8

）²+

25

16

．
∵

siny∈[-1，1] 1-2siny∈[-1，1]

，∴siny∈[0，1]，
∴m≤（-4sin²y+siny）_min=0，
即m≤0．
故答案为：（-∞，0]．

点评：本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识和配方法的合理运用．