Question

定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（1）=

1

2

，且f′（x）＞

1

x

，则不等式f（e^x）＞

2x+1

2

的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意，构造函数g（x）=f（x）-lnx，确定函数g（x）的解析式，不等式f（e^x）＞

2x+1

2

的转化为g（e^x）＞g（1），即可得出结论

解答： 解：∵f′（x）＞

1

x

，
∴f′（x）-

1

x

＞0，
∴（f（x）-lnx）′＞0，
设g（x）=f（x）-lnx，
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴g（e^x）=f（e^x）-lne^x=f（e^x）-x，
∵f（e^x）＞

2x+1

2

=x+

1

2

∴f（e^x）-x＞

1

2

，
∴g（e^x）＞

1

2

∵f（1）=

1

2

，
∴g（e⁰）=f（e⁰）-0，
即g（1）=f（1）=

1

2

，
∴g（e^x）＞g（1）=g（e⁰），
∴x＞0，
故答案为（0，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构建函数是关键．