Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*），若b_n=1+

1

an

，则log₂b₂₀₁₃的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,对数的运算性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

1

an+1

=1+

2

an

，从而b_n+1=2b_n，又b₁=1+

1

a1

=2，从而{b_n}是首项为1，公比为1的等比数列，由此求出b2013=22013，从而能求出log₂b₂₀₁₃=log222013=2013．

解答： 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*），
∴

1

an+1

=1+

2

an

，
∵b_n=1+

1

an

，
∴b_n+1-1=2b_n-1，
∴b_n+1=2b_n，又b₁=1+

1

a1

=2，
∴{b_n}是首项为1，公比为1的等比数列，
∴b2013=22013，
∴log₂b₂₀₁₃=log222013=2013．
故答案为：2013．

点评：本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．