Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x³+ax+1，y=f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线过点（1，-7），则a=-13．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时，函数的解析式，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可得到结论．

解答 解：若x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x³+ax+1，
∴当-x≥0时，f（-x）=-x³-ax+1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=-x³-ax+1=f（x），
即f（x）=-x³+ax-1，x＜0，
∵y=f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线过点（1，-7），
∴f（-1）=1-a-1=-a，即切点坐标为（-1，-a）
∴f′（x）=3x²+a，则f′（-1）=3+a，则切线斜率k=3+a，
则切线方程为y+a=（3+a）（x+1），
∵切线过点（1，-7），
∴-7+a=2（3+a）=6+2a，即a=-13，
故答案为：-13

点评 本题主要考查导数的几何意义，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式，求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程是解决本题的关键．