Question

正三棱锥的高为1，底面边长为2

3

，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  1

  2

• D、

  2

  -1

Answer 1

考点：球的体积和表面积,棱锥的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积和体积．设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的半径．

解答： 解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB=2

3

，
∴S_△ABC=3

3

，DE=1，PE=

2

．
S_全=3×

1

2

×2

3

×

2

+3

3

=3

6

+3

3

，
∵PD=1，∴V=

3

设球的半径为r，以球心O为顶点，
棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则r=

3 3

3 6 +3 3

=

2

-1
故选：D．

点评：本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．