Question

15．O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点，已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于0
（1）求$\overrightarrow{AB}$的坐标；
（2）求圆C₁：x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆C₂的方程；在直线OB上是否存在点P，过点P的任意一条直线如果和圆C₁圆C₂都相交，则该直线被两圆截得的线段长相等，如果存在求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=2OA，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=0，点B的纵坐标大于0，求$\overrightarrow{AB}$的坐标；
（2）求出圆C₂的方程，即可得出结论．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{AB}$=（x，y），由AB=2OA，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=0…（1分）
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=100}\\{4x-3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-8}\end{array}\right.$…（3分）
若$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，则y_B=-11与点B的纵坐标大于0矛盾
若$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-8}\end{array}\right.$，则y_B=5符合，即$\overrightarrow{AB}$=（6，8）…（4分）；
（2）C₁：x²-6x+y²+2y=0，即（x-3）²+（y+1）²=10，所以C₁（3，-1），r=$\sqrt{10}$…（6分）
∵$\overrightarrow{OB}$=（10，5），∴直线OB的方程为$\frac{1}{2}$x…（8分）
设C₂（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-3}=-2}\\{\frac{b-1}{2}=\frac{1}{2}•\frac{a+3}{2}}\end{array}\right.$，∴a=1，b=3．
所以圆C₂的方程为（x-1）²+（y-3）²=10…（10分）
存在点P，根据图形的对称性，点P即为线段C₁C₂的中点，坐标为（2，1）…（12分）．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查存在性问题的探求，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．