Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=

3

10

．
（Ⅰ）若

CB

•

CA

=

9

2

，求c的最小值；
（Ⅱ）设向量

x

=(2sinB，-

3

)，

y

=(cos2B，1-2sin2

B

2

)，且

x

∥

y

，求sin（B-A）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；
（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵

CB

•

CA

=

9

2

，
∴abcosC=ab×

3

10

=

9

2

，
∴ab=15．
∴c2=a2+b2-2abcos?C≥2ab-2ab?

3

10

=21，
∴c≥

21

，
即c的最小值为

21

；
（Ⅱ）∵

x

∥

y

，
∴2sin?B(1-2sin?2

B

2

)+

3

cos?2B=0，
即2sin?Bcos?B+

3

cos?2B=0，
∴sin?2B+

3

cos?2B=0，
即tan2B=-

3

，
∴2B=

2π

3

或

5π

3

，
即B=

π

3

或

5π

6

．
∵cosC=

3

10

＜

1

2

，
∴C＞

π

3

，sinC=

91

10

．
∴B=

π

3

或

5π

6

（舍去）．
∴sin?(B-A)=sin?[B-(π-B-C)]=sin?(C-

π

3

)=sin?Ccos?

π

3

-cos?Csin?

π

3

=

91

10

×

1

2

-

3

10

×

3

2

=

91 -3 3

20

．

点评：本题主要考查平面向量的数量积的应用，考查向量和三角函数的综合，考查学生的计算能力．