Question

设是首项为，公差为的等差数列(d≠0)，是其前项和．记bn=,

，其中为实数．

(1) 若，且，，成等比数列，证明：Snk=n2Sk(k,n∈N+)；

(2) 若是等差数列，证明：．

 

Answer 1

(1)见解析

(2)见解析

【解析】(1)由题意知,Sn=na+d

∴时，bn=,

∴b1==a,b2==a+,b4==a+

成等比

 ∴b1b4=a(a+)=( a+)2  d=2ad

∵d≠0∴d=2aSn=n2aSnk=(nk)2a

又n2Sk=n2k2a∴Snk=n2Sk

（2）由已知bn==

是等差数列,设（k,b为常数）kn+b=

 即对任意恒成立

也即2k－d=0,2b+d－2a=0,2ck=0,2bc=0

 ∵d≠0

∴k≠0c=0

 此时k=,b=命题得证