精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)=x3+x2+ax+b,g(x)=x3+x2+ 1nx+b,(a,b为常数).
(1)若g(x)在x=l处的切线方程为y=kx-5(k为常数),求b的值;
(2)设函数f(x)的导函数为,若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围;
(3)令F(x)=f(x)-g(x),若函数F(x)存在极值,且所有极值之和大于5+1n2,求a的取值范围.

(1);(2);(3)

解析试题分析:
解题思路:(1)求导,利用导数的几何意义得到即可;(2)求导,根据条件列出关于的方程组,消去,化成关于的一元三次方程,构造函数,进行求导,利用三次方程有唯一解进行求的范围;(3)构造函数,进行求导,将函数有极值转化为导函数为0有两个不相等的实根进行求解.
规律总结:三次函数零点的个数的判定:首先利用导数求出三次函数的极值,设极小值为,极大值为;①若,则有三个不等的零点;②若,则有两个不等的零点;③若,则有一个零点.
试题解析:(1)∵ 所以直线,当时,,将(1,6)代入,得.
(2) ,由题意知消去
有唯一解.
,则,    
所以在区间(-∞,-),区间(-,+∞)上是增函数,在上是减函数,
,故实数的取值范围是.
(3)
因为存在极值,所以上有根即方程上有根.
记方程的两根为由韦达定理,所以方程的根必为两不等正根.       
 所以满足方程判别式大于零
故所求取值范围为.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的零点个数;3.利用导数研究函数的极值.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

给出定义:若函数f(x)在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上是凸函数的是_____   ___.(把你认为正确的序号都填上)
① f(x)=sin x+cos x; ② f(x)=ln x-2x;
③ f(x)=-x3+2x-1; ④ f(x)=xex

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

(本小题满分12分)
为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.
的值
.求函数的单调递增区间,极大值和极小值,并求函数上的最大值与最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数
(Ⅰ)若,是否存在k和m,使得 ,若存在,求出k和m的值,若不存在,说明理由
(Ⅱ)设 有两个零点 ,且 成等差数列, 是 G (x)的导函数,求证:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数).
(Ⅰ)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于的方程上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列满足),求证:.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数 .
(1)求在点处的切线方程;
(2)证明: 曲线与曲线有唯一公共点;
(3)设,比较的大小, 并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知
(1)当时,求的单调区间
(2)若上是递减的,求实数的取值范围; 
(3)是否存在实数,使的极大值为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

已知函数图像在点
切线与图像在点M处的切线平行,则点M的坐标为               

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

函数的最大值是  ▲   

查看答案和解析>>

同步练习册答案