已知函数f(x)=x3+x2+ax+b,g(x)=x3+x2+ 1nx+b,(a,b为常数).
(1)若g(x)在x=l处的切线方程为y=kx-5(k为常数),求b的值;
(2)设函数f(x)的导函数为,若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围;
(3)令F(x)=f(x)-g(x),若函数F(x)存在极值,且所有极值之和大于5+1n2,求a的取值范围.
(1);(2);(3).
解析试题分析:
解题思路:(1)求导,利用导数的几何意义得到解即可;(2)求导,根据条件列出关于的方程组,消去,化成关于的一元三次方程,构造函数,进行求导,利用三次方程有唯一解进行求的范围;(3)构造函数,进行求导,将函数有极值转化为导函数为0有两个不相等的实根进行求解.
规律总结:三次函数零点的个数的判定:首先利用导数求出三次函数的极值,设极小值为,极大值为;①若,则有三个不等的零点;②若或,则有两个不等的零点;③若或,则有一个零点.
试题解析:(1)∵ 所以直线的,当时,,将(1,6)代入,得.
(2) ,由题意知消去,
得有唯一解.
令,则,
所以在区间(-∞,-),区间(-,+∞)上是增函数,在上是减函数,
又,故实数的取值范围是.
(3)
因为存在极值,所以在上有根即方程在上有根.
记方程的两根为由韦达定理,所以方程的根必为两不等正根.
所以满足方程判别式大于零
故所求取值范围为.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的零点个数;3.利用导数研究函数的极值.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
给出定义:若函数f(x)在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上是凸函数的是_____ ___.(把你认为正确的序号都填上)
① f(x)=sin x+cos x; ② f(x)=ln x-2x;
③ f(x)=-x3+2x-1; ④ f(x)=xex.
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
(本小题满分12分)
设为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.
求的值
.求函数的单调递增区间,极大值和极小值,并求函数在上的最大值与最小值.
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设函数
(Ⅰ)若,是否存在k和m,使得 ,,若存在,求出k和m的值,若不存在,说明理由
(Ⅱ)设 有两个零点 ,且 成等差数列, 是 G (x)的导函数,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数().
(Ⅰ)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于的方程在上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列满足,(),求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,,
(1)当时,求的单调区间
(2)若在上是递减的,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使的极大值为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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