Question

11．设定义在R上的奇函数函数f（x）=k•2^x+1+（k-3）•2^-x
（1）求k的值．
（2）用定义证明f（x）在定义域内的单调性．
（3）若x∈[1，3]时，不等式f（x²-x）+f（tx+4）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性计算f（0），求出k的值即可；
（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；
（3）问题转化为x²+（t-1）x+4＞0在x∈[1，3]上恒成立，设函数g（x）=x²+（t-1）x+4，x∈[1，3]，根据二次函数的性质求出t的范围即可．

解答 解：（1）由题可知f（0）=k•2⁰⁺¹+（k-3）•2⁰=3k-3=0，则k=1，
经检验可知：k=1时f（x）为奇函数合适，故k=1．
（2）由（1）知k=1时f（x）=2^x+1-2^-x+1=2（2^x-2^-x）
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=$2（{2^{x_1^{\;}}}-{2^{-{x_1}}}）-2（{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}）$
=$2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）-2（{2^{-{x_1}}}-{2^{-{x_2}}}）$
=$2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）-2（\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}）$
=$2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（1+\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}）$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在R上单调递增．
（3）结合（1）（2）知f（x）是定义在R上单调递增的奇函数
则由f（x²-x）+f（tx+4）＞0，可得f（x²-x）＞-f（tx+4），
即f（x²-x）＞f（-tx-4），故x²-x＞-tx-4在x∈[1，3]上恒成立，
即x²+（t-1）x+4＞0在x∈[1，3]上恒成立，
设函数g（x）=x²+（t-1）x+4，x∈[1，3]，
则函数g（x）开口向上，对称轴为$x=\frac{1-t}{2}$，
1°当$x=\frac{1-t}{2}＜1$，即t＞-1时g（x）在区间[1，3]上递增，
则g（1）=t+4＞0，可得t＞-4，又t＞-1，
故此时t＞-1合适；
2°当$x=\frac{1-t}{2}∈[1，3]$，即-5≤t≤-1时，
有△=（t-1）²-16＜0，则-3＜t＜5，
故此时-3＜t≤-1合适；
3°当$x=\frac{1-t}{2}＞3$即t＜-5时g（x）在区间[1，3]上递减，
则g（3）=9+3（t-1）+4＞0，
可得$t＞-\frac{10}{3}$，又t＜-5，
故此时t∈∅；
综上可知：实数t的取值范围为t＞-3．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．