Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、DC的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与D₁F所成的角；
（Ⅱ）证明：AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出异面直线AE与D₁F所成的角．（Ⅱ）由

D1A1

•

AE

=0，知AE⊥D₁A₁，由（Ⅰ）知AE⊥D₁F，由此能证明AE⊥平面A₁D₁F．

解答： （Ⅰ）解：如图，设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），D₁（0，0，1），
∴

AE

=(0，1，

1

2

)，

D1F

=(0，

1

2

，-1)，
∵

AE

•

D1F

=0，∴

AE

⊥

D1F

，
∴异面直线AE与D₁F所成的角为90°．
（Ⅱ）证明：∵

DA

=

D1A1

=(1，0，0)，
∴

D1A1

•

AE

=0，
∴AE⊥D₁A₁，由（Ⅰ）知AE⊥D₁F，且D₁F∩D₁A₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．