已知f(x)=在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)A={a|-1≤a≤1}.(Ⅱ){m|m≥2,或m≤-2}.
解析试题分析:
思路分析:(Ⅰ)根据f(x)在[-1,1]上是增函数,可得到f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.转化成(x)=x2-ax-2,二次函数问题。处理的方法较多。
(Ⅱ)由
从而可以得到x2-ax-2=0的两非零实根x1,x2的关系,将问题转化成
“要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。
解:(Ⅰ)f'(x)=4+2 ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设(x)=x2-ax-2,
方法一:
① -1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
① 或
0≤a≤1或-1≤a<0
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,
∴
从而|x1-x2|==.
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
②或
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
考点:函数的零点,二次函数的图象和性质,不等式恒成立问题。
点评:中档题,本题主要利用“转化与化归思想”,将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题,通过确定函数的最值,达到确定参数范围的目的。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数,且不等式的解集为.
(1)方程有两个相等的实根,求的解析式;
(2)的最小值不大于,求实数的取值范围;
(3)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数定义域为,且.设点是函数图像上的任意一点,过点分别作直线和 轴的垂线,垂足分别为.
(1)写出的单调递减区间(不必证明);
(2)问:是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由;
(3)设为坐标原点,求四边形面积的最小值.
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