Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=BC₁=

2

，BC=2，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E、F分别为棱AB、CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁
（2）若AC≤CC₁，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为

2

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面平行的判定定理可证明EF∥面A₁BC₁；
（2）分别求出平面ACC₁A₁的一个法向量和平面AA₁B的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答： （1）证明：取A₁B的中点D，连接ED，DC₁，
则ED∥AA₁，ED=

1

2

AA₁，
∵F为CC₁上的动点，∴ED∥FC₁，ED=FC₁，
∴四边形DEFC₁是平行四边形
∴EF∥DC₁，
∴EF?平面A₁BC₁，DC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（2）以O为坐标原点，以OC、OC₁、OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∴C（1，0，0），C₁（0，1，0），A（0，0，b），A₁（-1，1，b），
设平面ACC₁A₁的一个法向量为

n

=（x，y，z）
∵

CC1

=（-1，1，0），

AC

=（1，0，-b），
∴

-x+y=0 x-bz=0

，令z=1，则

n

=（b，b，1），
又

EF

=（1，

1

2

，-

b

2

），EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为

2

3

，
∴

b

2b2+1 • 5 4 + b2 4

=

2

3

，
解得b=1，或b=

10

2

，
∵AC≤CC₁，∴b=1
∴

n

=（1，1，1）．
同理可求得平面AA₁B的一个法向量

m

=（1，1，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+1-1

3 • 3

=

1

3

，
又二面角C-AA₁-B为锐二面角，故余弦值为

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．