Question

3．已知cos（α+2β）=$\frac{1}{5}$，cosα=$\frac{2}{5}$，则tan（α+β）tanβ=（　　）

• A． -2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用“拆角配角”思想把已知变形，得到cos[（α+β）+β]=$\frac{1}{5}$，cos[（α+β）-β]=$\frac{2}{5}$，然后展开两角和与差的余弦，求解sin（α+β）sinβ与cos（α+β）cosβ的值，再由商的关系求得答案．

解答 解：由cos（α+2β）=$\frac{1}{5}$，得cos[（α+β）+β]=$\frac{1}{5}$，
即cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ=$\frac{1}{5}$，①
由cosα=$\frac{2}{5}$，得cos[（α+β）-β]=$\frac{2}{5}$，
即cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=$\frac{2}{5}$，②
①+②，得$cos（α+β）cosβ=\frac{3}{10}$，
②-①，得sin（α+β）sinβ=$\frac{1}{10}$．
∴则tan（α+β）tanβ=$\frac{sin（α+β）sinβ}{cos（α+β）cosβ}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}}=\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的余弦，着重考查了“拆角配角”思想的应用，是中档题．