Question

3．已知F₂、F₁是双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 首先求出F₂到渐近线的距离，利用F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得直角三角形MF₁F₂，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（0，-c），F₂（0，c），
一条渐近线方程为y=$\frac{a}{b}$x，则F₂到渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，
∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
即c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．