Question

已知函数f_n（x）=

1

2

+

1

6

+

1

12

…+

1

n(n+1)

+

2015n+2n+1

2n+2015n+1

（x+1），其中n∈N^*，当n=1，2，3，…时，f_n（x）的零点依次记作x₁，x₂，x₃，…，则

lim

n→∞

x_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：利用裂项法求和，令f_n（x）=0，解得x_n=

n

n+1

•

( 2 2015 )n+2015

2•( 2 2015 )n+1

-1，利用极限的运算法则即可得出．

解答： 解：函数f_n（x）=

1

2

+

1

6

+

1

12

…+

1

n(n+1)

+

2015n+2n+1

2n+2015n+1

（x+1）=1-

1

n+1

+

2015n+2n+1

2n+2015n+1

（x+1），
令f_n（x）=0，解得x_n=

n

n+1

•

( 2 2015 )n+2015

2•( 2 2015 )n+1

-1．
∴

lim

n→∞

x_n=1×2015-1=2014．
故答案为：2014．

点评：本题考查了裂项法求和、数列极限的运算法则，属于基础题．