Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，已AB∥CD，AB=2DC，M为PB的中点．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）若AD⊥AB，BC⊥PA，平面PAB⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点N，连接MN，DN，证明四边形MNDC是平行四边形，得出CM∥DN，从而证明CM∥平面PAD；
（2）由平面PAB⊥平面ABCD，得出AD⊥平面PAB，证明AD⊥PA；再由PA⊥BC，证明PA⊥平面ABCD．

解答 解：（1）证明：如图所示，

取PA的中点N，连接MN，DN，则MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$AB；
又AB∥CD，AB=2DC，
∴MN=CD，且MN=CD，
∴四边形MNDC是平行四边形，
∴CM∥DN；
又DN?平面PAD，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）证明：∵AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，
∴AD⊥PA；
又PA⊥BC，
且BC与AD相交，
BC?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的推理与证明问题，也考查了逻辑思维能力的应用问题，是中档题目．