Question

在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示．
（1）在三棱锥P-ABC中，求证：PA⊥平面ABC；
（2）在三棱锥P-ABC中，M，N，F分别是PC，BC，AC的中点，Q是MN上任意一点，求证：FQ∥平面PAB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线线垂直推出线面垂直；
（2）先证出面面平行再证出线面平行即可．

解答： 解：（1）在三棱锥P-ABC中，由题意得：PA⊥AC，
∵PA=AB=2

2

，PB=4，∴PA²+PB²=PB²，则PA⊥AB，
又AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC；
（2）如图示：

∵M、N、F分别是PC、BC、AC的中点，连接FN、MF得平面FMN，
∴直线MN∥直线PB，直线FN∥直线AB，
又∵直线MN∩直线FN=你，直线PB∩直线AB=B，
∴平面PAB∥平面MNF，
又∵FQ?平面MNF，∴直线FQ∥平面PAB．

点评：本题考查了线线垂直，线面垂直，线面平行，面面平行的性质及判定，本题属于中档题．