Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，函数g（x）=f（x）-ax，恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{6}$，3-2$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，3-2$\sqrt{2}$）
• D． （3-2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函数g（x）=f（x）-ax，恰有三个不同的零点，推出函数f（x）与y=ax有3个交点，转化为直线y=ax与f（x）=x²+3x+2，x≤a有2个交点，与f（x）=$\frac{1}{6}x+2$，x＞a有1个交点，列出不等式求解即可．

解答 解：函数g（x）=f（x）-ax，恰有三个不同的零点，就是函数f（x）与y=ax有3个交点，也就是函数y=ax与f（x）=x²+3x+2，x≤a的图象有2个交点，y=ax与f（x）=$\frac{1}{6}x+2$，x＞a的图象有1个交点，
画出函数f（x）与y=ax的图象如图，

函数y=ax，看做直线斜率为a，由图象可知a$＞\frac{1}{6}$，a小于直线与抛物线相切时的斜率，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y={x}^{2}+3x+2}\end{array}\right.$，可得x²+（3-a）x+2=0，△=（3-a）²-8=0，解得a=3-2$\sqrt{2}$．
综上a∈（$\frac{1}{6}$，3-2$\sqrt{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点个数的求法与应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力．