Question

10．函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示，其中$f（{\frac{π}{3}}）=0，f（{\frac{7π}{12}}）=-2$，给出下列结论：
①最小正周期为π；
②f（0）=1；
③函数$y=f（{x-\frac{π}{6}}）$是偶函数；
④$f（{\frac{12π}{11}}）＜f（{\frac{14π}{13}}）$；
⑤$f（x）+f（{\frac{4π}{3}-x}）=0$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象经过定点（$\frac{π}{3}$，0），求出φ的值，从而求得函数的解析式，利用三角函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：由图象可知，A=2，$\frac{1}{4}$T=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，则T=π．故①正确，
又由于ω=$\frac{2π}{T}$，则ω=2，
故f（x）=2sin（2x+φ）．
由题中图象可知，f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，则$\frac{2π}{3}$+φ=kπ，k∈z，
即 φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈z．
又因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，则 φ=$\frac{π}{3}$，
所以函数解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
对于②：由于f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，故②错误，
对于③：$y=f（{x-\frac{π}{6}}）$=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，为奇函数，故③错误，
对于④：由于：f（$\frac{12π}{11}$）=2sin（2×$\frac{12π}{11}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{83π}{33}$=2sin$\frac{17π}{33}$=2cos$\frac{0.5π}{33}$，f（$\frac{14π}{13}$）=2sin（2×$\frac{14π}{13}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{19π}{39}$=2cos$\frac{0.5π}{39}$，
又由于：$\frac{π}{2}$＞$\frac{0.5π}{33}$＞$\frac{0.5π}{39}$＞0，
所以：cos$\frac{0.5π}{33}$＜cos$\frac{0.5π}{39}$，可得$f（{\frac{12π}{11}}）＜f（{\frac{14π}{13}}）$正确，
对于⑤：用特值法，当x=$\frac{π}{3}$时，f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=0+f（π）=0+2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，故错误．
故选：D．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．