Question

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：

y

=-20x+a
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从线性回归直线方程中的关系，且该产品的成本是每件4元，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入一成本）

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：阅读型,概率与统计

分析：（I）利用平均数公式求得样本中心点的坐标，根据样本中心点在回归直线上，求系数a的值；
（II）根据题意构造函数，利用函数求得函数值取得最大值时的定价．

解答： 解：（I）由于

.

x

=

1

6

(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5，

.

y

=

1

6

(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80，
∴样本中心点的坐标为（8.5，80），
∴a=

.

y

-b

.

x

=80+20×8.5=250；
（II）设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x（-20x+250）-4（-20x+250）
=-20x2+330x-1000=-20(x-

33

4

)2+361.25，
当且仅当x=8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

点评：本题考查了回归直线的性质及回归系数的求法，考查了回归分析的应用，熟练掌握回归分析的思想方法是解题的关键．