Question

已知函数f（x）=|

3

2

-x|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤

5

2

的解集；
（Ⅱ）如果存在x∈[-2，4]，使不等式f（x）+f（x+2）≥m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）不等式即|x-

3

2

|≤

5

2

，即-

5

2

≤x-

3

2

≤

5

2

，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（x+2）=|x-

3

2

|+|x+

1

2

|=

1-2x ， x≤- 1 2 2  ， - 1 2 ＜x≤ 3 2 2x-1  ，x＞ 3 2

，分类讨论求得g（x）在[-2，4]上的最大值，即可得到m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤

5

2

，即|x-

3

2

|≤

5

2

，即-

5

2

≤x-

3

2

≤

5

2

，求得-1≤x≤4，
故不等式的解集为[-1，4]．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（x+2）=|x-

3

2

|+|x+

1

2

|=

1-2x ， x≤- 1 2 2  ， - 1 2 ＜x≤ 3 2 2x-1  ，x＞ 3 2

．
由题意可得g（x）在[-2，4]上的最大值大于或等于m．
当x∈[-2，-

1

2

]时，g（x）为减函数，故g（x）≤g（-2）=5．
当x∈[-

1

2

 4]时，g（x）的最大值为g（4）=7，故 g（x）在∈[-2，4]上的最大值为7，由题意可得m≤7，
即m的范围是（-∞，7]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带由绝对值的函数，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．