Question

如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得

，为的中点.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）1；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，

又边长为2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）,

（Ⅲ）解法一：过，连接AE，

，

即二面角的余弦值为.

解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

显然，平面的法向量为

设：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值为.

考点：（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.