【题目】轮船A从某港口O要将一些物品送到正航行的轮船B上,在轮船A出发时,轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处,并正以15海里/时的航速沿正东方向匀速行驶,假设轮船A沿直线方向以v海里/时的航速匀速行驶,经过t小时与轮船B相遇,
(1)若使相遇时轮船A航距最短,则轮船A的航行速度的大小应为多少?
(2)假设轮船B的航行速度为30海里/时,轮船A的最高航速只能达到30海里/时,则轮船A以多大速度及沿什么航行方向行驶才能在最短时间内与轮船B相遇,并说明理由.
【答案】(1) 海里/时(2) 航向为北偏东30°,航速为30海里/时时,轮船A能在最短时间内与轮船B相遇,理由见解析
【解析】
(1)设相遇时轮船A航行的距离为s海里,利用余弦定理可得,进而求得距离的最小值,从而得到此时的航行速度;
(2)先画出示意图,再利用余弦定理整理可得速度与时间的关系,根据速度的范围解得时间的最值,则可判断示意图中三角形的性质,进而得到方向即可
(1)设相遇时轮船A航行的距离为s海里,则
∴当时,
,此时
,
即轮船A以海里/时的速度航行,相遇时轮船A航距最短
(2)航向为北偏东30°,航速为30海里/时时,轮船A能在最短时间内与轮船B相遇,
设轮船A与轮船B在Q处相遇,如图,
则,即
,
∵,∴
,即
,解得
,
又时,
,
∴时,t最小且为
,
此时在△POQ中,
∴航向为北偏东30°,航速为30海里/时时,轮船A能在最短时间内与轮船B相遇
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【题目】在平面直角坐标系中,已知 为椭圆
的左焦点,且椭圆
过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 是否存在平行四边形 ,同时满足下列两个条件:
①点在直线
上;②点
在椭圆
上且直线
的斜率等于1.如果存在,求出
点坐标;如果不存在,说明理由.
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【题目】某商品要了解年广告费(单位:万元)对年利润
(单位:万元)的影响,对近4年的年广告费
和年利润
数据作了初步整理,得到下面的表格:
广告费 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年利润 | 26 | 39 | 49 | 54 |
(Ⅰ)用广告费作解释变量,年利润作预报变量,建立关于
的回归直线方程;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果预报广告费用为6万元时的年利润.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;
(2)若大棱锥的侧棱长为,小棱锥的底面边长为
,求截得的棱台的侧面积与全面积.
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【题目】设全集为R,集合A={x|-3<x<4},B={x|1≤x≤10}.
(1)求A∪B,A∩(RB);
(2)已知集合C={x|2a-1≤x≤a+1},若C∩A=C,求实数a的取值范围.
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