Question

如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：AC⊥平面BCE；
（3）求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，运用判定定理可判断．
（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，
（3）CM⊥平面ABEF，V_E-BCF=V_C-BEF得出体积即可判断．

解答： 解：（1）∵四边形ABEF为矩形，
∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．

（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，
∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM=MB=2
∵AD=2，AB=4．
∴AC=2

2

，CM=2，BC=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE．

（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，
∵CM⊥AB，AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB=A，
∴CM⊥平面ABEF，
∴V_E-BCF=V_C-BEF=

1

3

×

1

2

×BE×CM=

1

6

×2×4×2．

点评：本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．