Question

9．平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系的极坐标方程，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）与曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）分别写出曲线C₁，C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的长度．

Answer 1

分析 （1）利用sin²θ+cos²θ=1消参数得到C₁的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C₂的普通方程；
（2）由普通方程可知两曲线为圆，求出圆心距和半径，根据垂径定理得出公共弦长．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得cosθ=$\frac{x-1}{2}$，sinθ=$\frac{y}{2}$．∴曲线C₁的普通方程为$（\frac{x-1}{2}）^{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即（x-1）²+y²=4；
由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，∴曲线C₂的普通方程为x²+y²-4y=0．即x²+（y-2）²=4．
（2）曲线C₁，的圆心为C₁（1，0），半径r₁=2，曲线C₂的圆心为C₂（0，2），半径r₂=2．
∴两圆的圆心距d=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．∵r₁=r₂，
∴两圆的公共弦长为2$\sqrt{{{r}_{1}}^{2}-（\frac{d}{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，圆与圆的位置关系，属于基础题．