Question

7．已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₂，a₃，a₆成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₃=a₂+2、a₆=a₂+8及a₂，a₃，a₆成等比数列可求出a₂=1，进而利用等差数列通项公式计算即得结论；
（2）由（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）由题可知a₃=a₂+2，a₆=a₂+8，
因为a₂，a₃，a₆成等比数列，
所以（a₂+2）²=a₂（a₂+8），解得a₂=1，
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-3；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{2n-3}$•$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
所以S_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{-n}{2n-1}$，
所以${S_n}=\frac{-n}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．