Question

11．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2a-x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=$\frac{1}{x+1}$，②f（x）=（x+1）²；③f（x）=x³；④f（x）=sin（x+1），其中的“准奇函数”是①④（写出所有“准奇函数”的序号）

Answer 1

分析 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．

解答 解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，
都有f（x）=-f（2a-x）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，
对于①：f（x）=$\frac{1}{x+1}$，函数f（x）的图象关于（-1，0）对称，
对于②：f（x）=（x+1）²，函数无对称中心，
对于③：f（x）=x³，函数f（x）关于（0，0）对称，
对于④：f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ，0）对称，
故答案为：①④．

点评 本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键，属于基础题．