Question

已知函数f（x）=x-1-xlnx，（x＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值
（Ⅱ）设g（x）=

lnx

x-1

（x＞1），试分析函数g（x）的单调性
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，证明：当n＞m＞0时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用导数求得函数的单调区间，再根据函数的单调区间求得函数f（x）的最大值．
（Ⅱ）根据函数g（x）=

lnx

x-1

（x＞1）的导数求得当x＞1时，g′（x）＜0，可得函数g（x）在（1，+∞）上为减函数．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，可得g（n+1）＜g（m+1），化简可得要证的不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意得f′（x）=1-（lnx+x）=-lnx （x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故f（x）的最大值为f（1）=1．
（Ⅱ）由g（x）=

lnx

x-1

（x＞1），可得 g′（x）=

x-1 x -lnx

(x-1)2

=

x-1-xlnx

x(x-1)2

，
由（Ⅰ）知：f（x）=x-1-xlnx＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上为减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数g（x）=

lnx

x-1

在（1，+∞）上是减函数，再根据n＞m＞1，
可得g（n+1）＜g（m+1），化简可得

ln(1+n)

n

＜

ln(m+1)

m

，
整理得ln（1+n）^m＜ln（m+1）ⁿ，故有（1+n）^m＜（1+m）ⁿ ．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性求函数的最值，属于中档题．