Question

（1）证明：f（x）=x+

1

x

（x＞0）．在（0，1）上是单调递减函数，在（1，+∞）上是单调增函数．
（2）探索研究“对勾函数”g（x）=x+

a

x

（x＞0）其中a＞0的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）对f（x）求导，利用函数的导数f′（x）＜0，判断f（x）是减函数，f′（x）＞0，判断f（x）是增函数即可；
（2）利用导数判断“对勾函数”g（x）=x+

a

x

的单调性即可．

解答： 解：（1）证明：∵f（x）=x+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=1-

1

x2

，
当x∈（0，1）时，0＜x²＜1，∴

1

x2

＞1，
∴f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
当x∈（1，+∞）时，x²＞1，∴

1

x2

＜1，
∴f′（x）＞0，f（x）是单调增函数；
（2）“对勾函数”g（x）=x+

a

x

（x＞0）其中a＞0，
g（x）在（0，

a

）上是单调减函数，在（

a

，+∞）上是单调增函数；
证明如下：∵g（x）=x+

a

x

，
∴g′（x）=1-

a

x2

，
∴当x∈（0，

a

）时，0＜x²＜a，∴

1

x2

＞a，
∴g′（x）＜0，g（x）是单调减函数，
当x∈（

a

，+∞）时，x²＞a，∴

1

x2

＜a，
∴g′（x）＞0，g（x）是单调增函数．

点评：本题考查了判断函数的单调性问题，解题时可以利用函数的导数判断单调性，是基础性题目．