Question

6．已知以点C（t，$\frac{2}{t}$）（t＞0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值．
（Ⅱ）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）根据直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；
（Ⅲ）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：由题意可得：圆的方程为：（x-t）²+（y-$\frac{2}{t}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，
可化为：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}$y=0，与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|2t|$|$\frac{4}{t}$|=4，为定值．--------（4分）
（Ⅱ）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，
设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，
OC的斜率k=$\frac{2}{{t}^{2}}$，∴（$\frac{2}{{t}^{2}}$）×（-2）=-1，解得t=±2，
∵t＞0∴t=2
可得圆心C（2，1）
∴圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=5．--------（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知：圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$，
点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=$\sqrt{36+9}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，
则|PB|+|PQ|的最小值为$2\sqrt{5}$．
直线B′C的方程为：y=$\frac{x}{2}$，此时点P为直线B′C与直线l的交点，
故所求的点P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．------（12分）

点评 本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．