Question

15．已知AD是△ABC的中线，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC\;}$（λ，μ∈R），∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，则|${\overrightarrow{AD}}$|的最小值是1．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值．

解答 解：设AC=b，AB=c，
又∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，
则bccos120°=-2，即有bc=4，
由AD是△ABC的中线，则有$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
即有|${\overrightarrow{AD}}$|²=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（b²+c²-4）≥$\frac{1}{4}$（2bc-4）=$\frac{1}{4}$×（8-4）=1．
当且仅当b=c时|${\overrightarrow{AD}}$|的最小值是为1，
故答案为：1．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的中点表示形式及向量的平方即为模的平方，运用重要不等式是解题的关键．