Question

3．若曲线C：y=e^x-ax+1存在与直线3x+y=0平行的切线，则函数f（x）=x²-ax+2有2个零点．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数值等于-3求解实数a的取值范围，利用判别式确定函数的零点．

解答 解：由y=e^x-ax+1，得y′=e^x-a，
∵曲线C：y=e^x-ax+1存在与直线3x+y=0平行的切线，
∴存在x∈R，使得e^x-a=-3，
即e^x=a-3．
∵e^x＞0，
∴a＞3．
∴x²-ax+2=0的△=a²-8＞0，
∴函数f（x）=x²-ax+2有2个零点
故答案为：2．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查函数的零点，考查了数学转化思想方法，是中档题．