Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c=4，则AC边上中线长的最小值$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数，设AC边上的中点为E，利用三边a，b，c用余弦等量将中线BE表示出来，再用基本不等式求最小值．

解答 解：∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC，
整理得：2sinBcosB=sin（A+C），即2sinBcosB=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{π}{3}$．如图：设AC边上的中点为E
在△BAE中，由余弦定理得：BE²=c²+（$\frac{b}{2}$）²-2c（$\frac{b}{2}$）cosA，
又cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得：
BE²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}{4}$=$\frac{（a+c）^{2}-ac}{4}$=$\frac{16-ac}{4}$≥$\frac{16-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{4}$=3，当a=c=2时取到”=”，
所以AC边上中线长的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理的应用，考查了用基本不等式求最值，考查了分析解决问题及计算能力，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．